Wie gesagt - warum sich unterschiedliche Systeme unterschiedlich verhalten (Win 7 vs. Win 10,
Indy vs. Windows selbst), hatte ich ja grob versucht zu beschreiben.
Aus meiner Sicht liegt der Fehler nicht beim Client, also deinem Programm, egal ob nun mit
Indy oder nicht, sondern beim Server. Falls das deiner ist, müsstest du da vielleicht noch mal schauen, wo es bei den Zertifikaten oder anderen Teilen der Konfiguration hakt oder du müsstest den Admin mal darauf hinweisen. Teste es einfach selber mal mit dem Firefox.
Viel Glück.