Anzahl verschiedener Kombinationen

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Mal eine kleine Übersicht als Auszug aus einer Kombinatorik-Vorlesung

Geordnet bedeutet hier, dass die Reihenfolge wichtig ist. Wenn es geordnet sein muss ist z.B. 123 ein anderes Ergebnis als 321, andernfalls nicht.
Zurücklegen bedeutet, ob ein Element doppelt vorkommen kann (man es also symbolisch gesehen, nach dem Ziehen wieder in die Lostrommel zurücklegt oder nicht)

Im Folgenden nennen wir die Menge unserer möglichen Elemente A und die Anzahl aller Elemente in A nennen wir n. Wir ziehen jeweils k viele Objekte.

k-Tupel
geordnet: ja
zurücklegen: ja

Mathematisch: k-Tupel über A
Bezeichnung: k-Tupel
Formel für die Anzahl: n^k

Beispiele: Passwörter der Länge k bei n verschiedenen Zeichen (z.B. wie oben 62).

k-Permutation
geordnet: ja
zurücklegen: nein

Mathematisch: k-Tupel über A ohne Wiederholungen
Bezeichnung: k-Permutation
Formel für die Anzahl: n! / (n-k)!

Beispiele: Bundesligatabelle ( k = n = 18 )
Medaillengewinner im 100m Finale (die drei verschiedenen Medaillen sind ja unterschiedlich wertvoll, daher ist die Reihenfolge wichtig) (n = 8, k = 3)

k-Kombination
geordnet: nein
zurücklegen: nein

Mathematisch: k-elementige Teilmengen von A
Bezeichnung: k-Kombination
Formel für die Anzahl: n! / k!(n-k)!

Beispiele: Lottoschein (n = 49, k = 6)
Bundesligaabsteiger (n = 18, k = 3)
Starthand beim Skat (n = 32, k = 10)

k-Multimenge
geordnet: nein
zurücklegen: ja

Mathematisch: "ungeordnete" k-Tupel über A
Bezeichnung: k-Multimenge
Formel für die Anzahl: (n+k-1) / k!(n-1)!

Beispiele: Kniffel (n = 6, k = 5)
Notenspiegel bei k Klausurteilnehmern (n = 11 für die Noten 1.0 bis 5.0)




Je nach Aufgabenstellung kann man das ganze dann entsprechend kombinieren. Bei Bedarf kann ich auch noch ein paar Aufgaben mit Lösungen dazu ausgraben.