Statistik - RNG unbiased?

[Medium]

Ahoi zusammen!

Ich grübel gerade an der Bewertung eines RNG herum. Das Problem: Der RNG ist eine völlige Blackbox, d.h. ich kann nur sagen: "Gib N Zufallszahlen zwischen X und Y, los!", und bekomme diese zurück. Ich möchte aber nun feststellen ob dieser RNG "unbiased" ist, sprich im Mittel wirklich auch (X+Y)/2 liefert.
Was ich schon habe ist: Wenn ich N Zahlen zwischen -1 und 1 erzeugen lasse und diese Summiere, erhalte ich eine Stichprobe der Abweichung. Auch kenne ich das Testverfahren der Statistik, womit ich glaube ans Ziel kommen zu können. Was mir fehlt ist ein Schritt um Annahme und Ansatz hier zusammenzubringen, um nachher eine statistische Aussage errechnen zu können. (Z.B.: "Mit 95% Wahrscheinlichkeit weicht der RNG nicht vom Mittelwert ab.")
Da ich die Periodenlänge leider auch nicht kenne, bleibt Brute-Forcing leider auch aussen vor. Nicht zuletzt auch schon weil der RNG online ist - somit scheidet sogar disassemblieren aus.

Wie komme ich denn hier zu einer statistisch testbaren Annahme?

Edit: Noch interessanter wäre allerdings, wenn ich irgendwie dahin kommen könnte zu sagen: "Nach maximal N Zahlen weicht der RNG nur noch um X% vom Mittel ab." - Das ist letztlich der Faktor den ich suche. Ich komm nur grad nicht auf den richtigen Weg.

[Apollonius]

Zitat von Medium:

"Mit 95% Wahrscheinlichkeit weicht der RNG nicht vom Mittelwert ab."

Eine solche Aussage kannst du nicht erhalten; das ist rein logisch einfach nicht möglich, weil du dafür zusätzlich zu den Messdaten noch eine Grundfehlerwahrscheinlichkeit brauchst: Stell dir deinen hypothetischen RNG-Test als AIDS-Test vor. Zusätzlich zum Testergebnis und den Fehlern 1. und 2. Art brauchst du unbedingt noch die Häufigkeit von AIDS in der Bevölkerung, um auszusagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Proband AIDS hat.

Ein Hypothesentest liefert Ergebnisse der Form "Wenn der RNG gleichverteilte Zufallszahlen im Bereich X..Y liefert, tritt ein Ergebnis in diesem oder jenem Bereich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% aus", und ein solches Ergebnis kannst du dann zum Aussortieren verwenden. Am besten lässt du dir einfach eine ganze Menge Zufallszahlen in einem Bereich X..Y geben, summierst sie und teilst durch n - das Ergebnis nennst du S. Falls dein RNG tatsächlich gleichverteilte Zufallszahlen im gegebenen Bereich liefert, ist S normalverteilt mit Mittelwert (X + Y)/2 und einer nach dem Zentralen Grenzwertsatz bestimmbaren Standardabweichung. Nun gibt es Tabellen, aus denen du entnehmen kannst, mit welcher Wahrscheinlichkeit S in einem bestimmten Intervall (ausgedrückt als Vielfaches der Standardabweichung) um den Mittelwert liegt. Damit erhältst du dann eine nutzbare Aussage.

[Medium]

Stimmt, diese Aussage wäre recht einfach zu holen, führt mich aber leider nicht an mein eigentliches Ziel heran (s. Edit im 1. Posting).
Ich hatte mir das so vorgestellt vom Ablauf her:
Ich lasse mir M Serien von N Zufallszahlen generieren, von denen ich die Mittelwerte als neue Messreihe ansehe. Ich habe dann also eine Liste von Abweichungen von 0 (im Fall von -1..1), die hoffentlich normalverteilt ist. Damit müsste ich ja letztlich aussagen können, dass der Mittelwert einer beliebigen Serie von N Zahlen mit nur X% Wahrscheinlichkeit... um mehr als sagen wir mal 5% von 0 abweichen wird, also im Intervall [-0,05..0,05] liegt.

Das ganze will ich dann am Ende so umwurschteln, dass N die Variable wird, und X das Ergebnis. So dass ich sagen kann: Eine Folge von N Zahlen wird mit X% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 5% von 0 abweichen. Wobei dieses "5% von 0" die Neuerung zum Eingangsposting ist, worauf ich durch deine Antwort erst aufmerksam wurde - genau 0 wird ja praktisch nie eintreffen. Dennoch komme ich nicht auf eine brauchbare Rechnung

[Apollonius]

Zufallszahlen, die nur die Werte -1, 0 und 1 annehmen können, haben die Standardabweichung sqrt(2/3). Das arithmetische Mittel von n solcher Zufallszahlen hat dementsprechend die Standardabweichung sqrt(2/3)/sqrt(n). In einer Normalverteilung mit Erwartungswert 0 liegen etwa 95,5% aller Werte im Intervall [-2*sigma, 2*sigma] - damit kommst du also deinen 5% recht nahe.

[Medium]

Es geht schon um reelle Zahlen
Zudem gilt das doch aber nur für "faire", also normalverteilte RNGs ohne Bias oder? Das ist eben eine Eigenschaft, die ich nicht voraussetzen kann, bzw. will ich quasi nebenbei prüfen, ob dies der Fall ist. Das ist ja der Punkt: Wenn ich wüsste dass er NV und unbiased ist, wäre das ganze Unterfangen ja kein Problem.

[Apollonius]

Gut, bei reellen Zahlen ändert sich nichts wesentliches. Die Methode funktioniert aber tatsächlich nur bei gleichverteilten (!= normalverteilten) RNGs. Sehe ich das richtig, dass du wirklich nur den Mittelwert prüfen willst, aber keine anderen Eigenschaften?

[Medium]

Ich will im Grunde nur den Mittelwert prüfen, jau. Allerdings so, dass ich nachher abschätzen kann mit welcher Wahrscheinlichkeit eine beliebige und beliebig lange Serie an Zahlen ein Intervall um den Mittelwert trifft, wobei halt eben zuvor mit hinreichender Genauigkeit geprüft werden müsste, ob dieser bei 0 liegt, und falls nicht sollte er sinnvoll abschätzbar sein.
Es sind also letztlich 2 Probleme:
1) Bestimmung des wahrscheinlichen Mittelwertes des RNG
2) Bestimmung einer Vorschrift über die ausgesagt werden kann wie sich N auf die "Treffsicherheit" zum Mittelwert auswirkt