Cayley: Einheitswurzeln

[Dipl Phys Ernst Winter]

Cayley: Attractionsgebiete von z3 = 1
Die Gleichung z3 - 1 = 0 hat eine reelle Lösung z = 1 und zwei komplexe Lösungen e2i/3 und e-2i/3.
Nähert man diese nach Newton durch
z[n+1] := z[n] - (z[n]^3 - 1)/3*z[n]^2
an, so kann man in der komplexen Ebene drei Attraktionsgebiete definieren, deren Punkte als Anfangspunkte mit der Iteration zu jeweils einer der drei Lösungen führen. Die Anzahl der Iterationen, die den Punkt in eine Umgebung der Lösung führen, ist ein Maß der Konvergenzgeschwindigkeit.
Der englische Mathematiker A. Catley wies bereits 1879 auf die Schwierigkeiten der Abgrenzung der Attraktionsgebiete hin. Die französischen Mathematiker Pierre Fatou (1878-1929) und Gaston Julia (1893-1978) haben dann wesentliche Beiträge zur Theorie der Attraktionsgebiete geleistet. Als Julia-Menge wird danach der Rand zwischen den Attraktionsgebieten bezeichnet.
Das Programm erweitert die Aufgabenstellung auf Lösungen der Gleichung z^n=1 mit n = 2..9. Es rastert zeilenweise die komplexe Ebene mit den Anfangspunkten ab und färbt die Einhüllenden entsprechend dem Attraktionsgebiete und der Attraktionsgeschwindigkeit mit Bändern aus ausgewählten Farbtönen ein.