Erfinden kann man nur etwas, was potentiell möglich ist, deshalb, welch eine Binsenweisheit, kann unmögliches nicht erfunden werden.
Insofern ist jede Erfindung auch (nur?) eine Entdeckung, nämlich von etwas, was prinzipiell möglich ist.
Wie siehts mit unendlichen Mengen aus? Sind die möglich? Haben wir sie nur erfunden? Existieren sie nur als Gedankenkonstrukt in unserem Kopf?
Das ist die große Frage, um die sich diese Diskussion immer wieder dreht (leider weitgehend im Kreise).
Ein
reines Gedankenkonstrukt gehorcht auschließlich unseren Gedanken und ist deshalb gedanklich beliebig formbar - es muß demnach (jedenfalls nahezu) jede beliebige Eigenschaft annehmen können (mit einer scharfsinnigen reduction ad absurdum, die natürlich nicht von mir stammt, kann man sogar dem gedanklich nahezu beliebig formbaren "Allmächtigen" die Allmacht absprechen, also sind sogar dessen Eigenschaften nicht völlig beliebig, es gibt auch noch eine andere Widerlegung zu ihm).
Mathematische Objekte (nein, ich nenne jetzt nicht die beiden schon aus der Volksschule bekannten Beispiele) haben diese "totale Merkmalsfreiheit" ganz offensichtlich nicht, sonst wäre der Beruf des Mathematikers entweder überflüssig oder wenigstens dem des Philosophen deutlich verwandter. Mathematische Forschung wäre nicht nur überflüssig, sondern ganz offensichtlich sinnlos, denn ausdenken kann sich jeder Mensch jeden Tag eine ganze Menge.
Jedenfalls ist diese Merkmalsgebundenheit ein starkes Indiz für die Vermutung, daß die mathematischen Objekte eben doch ihr Eigenleben führen und unabhängig von unserem Gehirn als - ziemlich abstrakte - Objekte existieren, eben objektiv (das ist jetzt tautologisch). Unser Gehirn ist ja auch zu anderen Dingen imstande, als abstrakte Objekte gedanklich zur durchdringen (sogar besser zur Durchdringung konkreter Objekte), ihre Eigenschaften zu entdecken (die gehorchen dann nicht mehr der Willkür) und zu beschreiben (letzteres ist dann die Formulierung in Form eines Gesetzes, das allerdings auch ohne diese Formulierung als Zusammenhang schon existiert, nur eben nicht als Gesetz uns bekannt ist).
Ergänzung: Zu "mathematische Objekte" existiert ein Artikel in meiner "Internet-Lieblingsenzyklopädie". Also gibt es sie - und zwar
objektiv, sonst wären es keine Objekte. Das ergibt sich schon begriffslogisch. Und was objektiv existiert, existiert unabhängig von unserem Geiste, sonst wäre es nur subjektiv.