Koeffizienten eines Polynoms berechnen

[alzaimar]

Normalerweise weiss man in etwa, was man misst, bzw. kennt die physikalischen Grundlagen und Gesetze des Mediums. Hieraus lassen sich zumindest die Stammfunktionen ableiten. Natürlich gibt es auch Szenarien, in denen das unbekannt ist, z.B. bei Aktienkursen.

Wenn also die Stammfunktion bekannt ist, kann man eine Regression darüber laufen lassen und erhält somit eine Ausgleichsfunktion, die den Verlauf der Messpunkte beschreibt und in gewissem Rahmen Inter- und Extrapolationen erlaubt. Die Funktion wird keine Überraschungen liefern. So wird z.B. bei einer Kurve, die das Abkühlungsverhalten über die Zeit darstellt, mit sicherheit eine streng monoton fallende Stammfunktion eingesetzt werden, denn welches Objekt erwärmt sich spontan? Hier gibt es diverse Verfahren für spezielle Stammfunktionen (kleinste Quadrate, Gaus, etc.), oder allgemeine Iterationsverfahren, die die Parameter beliebiger Funktionen ermitteln.

Wenn die Stammfunktion unbekannt oder nicht deterministisch ist, sollten Ausgleichssplines zum Ziel führen. Diese sind jedoch mit Vorsicht zu genießen, da sie jeglichen 'Mist' der Messwerte mitmachen, also Peaks erzeugen können, wo gar keine Sind usw.

Von der Regel: X-Messwerte ergibt ein Polynom X-1.ten Grades würde ich abraten, denn beim kleinsten Messfehler schaukelt sich die Funktion so auf, das es eine Freude ist. Gleiches gilt übrigens für Splines und zu wenigen Messpunkten bei sich stark ändernden Werten (z.B. Peaks oder plötzlicher Anstieg).

Die hier genannte Faustregel, nach der i.A. ein Polynom 3.Grades ausreicht, ist gar nicht so abwegig und führt in der Regel zu befriedigenden Ergebnissen.