Kreisradius berechnen Tangente,Tangente,Durchpunkt

[jfheins]

Dann lass mal den Profi ran *g*

Ohne Verlust der Allgemeinheit (ich liebe diesen Satz) können wir das Problem in den Ursprung transformieren.

Das heißt, wir haben den Punkt im Ursprung und eine Gerade, die im Winkel alpha zur X-Achse hochgeht.

Desweiteren haben wir den Punkt P(x|y) der auf dem Kreis leigen soll.

Der Kreismittelpunkt liegt auf der X-Achse und hat somit die Koordinaten M = (Xm|0))

Aus der Tangentenbedingung erhalten wir die Formel r = Xm * sin(alpha)

Aus de Punktbedingung erhalten wir mit Pythagoras r^2 = y^2 + (Xm - x)^2
Bedenke, dass es 2 Lösungen gibt: Xm > x und Xm < X

Wenn man die 2. Gleichung nach Xm auflöst und in die erste einsetzt, erhält man für den Radius:

r = (x ± sqrt(r^2-y^2)) * sin(alpha)

Du brauchst es nicht zurücktransformieren, da dich der Kreismittelpunkt ja nicht interessiert

Falls du Fragen hast, frag

Btw.: Die Koordinatentransformation besteht aus der Translation (Verschiebung) und der Rotation um einen Winkel (multiplikation mit der Drehmatrix)

Edit: Ups, da oben ist ja noch ein r auf beiden Seiten
Ich pack mal den Hammer aus

Sooo, und jetzt kommt der hilfreiche Teil

Nachdem man statt der oberen Gleichung die implizite Gleichung

r^2=y^2+(r/Sin[a]-x)^2

benutzt, und diese in ein normales 08/15 CAS eintippt, erhält man folgende Ausgabe:

Code:

*                               2    2    2       2
               x Csc[a] - Sqrt[x  + y  - y  Csc[a] ]
        {{r -> -------------------------------------}, 
                                      2
                           -1 + Csc[a]
 
                            2    2    2       2
           x Csc[a] + Sqrt[x  + y  - y  Csc[a] ]
     {r -> -------------------------------------}}
                                  2
                       -1 + Csc[a]

Wobei Csc der Cosekans ist: Csc(a) = 1/sin(a)

Außerdem ist a = alpha, X und Y sind die Koordinaten des Punkts im gedrehten Koordinatensystem.

Wie oben prophezeit bekommst du 2 Lösungen für r.

Um die Koordinaten im gedrehten System zu erhalten muss tdu folgendes machen:

P_neu = (inv. Drehmatrix mit beta) * (P_alt - P_1)


Spätestens jetzt bist du verwirrt, deshalb mal ein Beispiel im Anhang