Gleichung umformen

[Namenloser]

Auch wenn Medium sich jetzt ausgeklinkt hat: Mir ist noch ein Grund eingefallen, warum man Grenzwerte nicht einfach durch den Durchschnitt ersetzen kann.

Einige reelle Zahlen, z.B. e, sind über den Grenzwert von rationalen Folgen definiert. Das schöne dabei ist, dass der Grenzwert alle Eigenschaften hat, die wir für Zahlen voraussetzen, damit wir damit rechnen können: Man kann sie addieren, subtrahieren, multiplizieren usw.. Präziser ausgedrückt gibt es einen Homomorphismus zwischen einer Folge und ihrem Grenzwert. D.h. lim(a+b) = lim(a)+lim(b), lim(a*b) = lim(a)*lim(b) usw..

Beim Durchschnitt funktioniert das zwar soweit ich sehe bei der Addition und Subtraktion, im allgemeinen aber nicht bei der Multiplikation: Geht z.B. die Folge a so: 0,1,0,1,0,1,... und die Folge b so: 1,0,1,0,1,0..., dann ist a*b an jeder Stelle 0, und damit auch avg(a*b) = 0. Für sich betrachtet sind aber avg(a) = avg(b) = 0.5. Also ist 0 = avg(a*b) != avg(a)*avg(b) = 0.25. Deshalb taugt diese Definition nicht im allgemeinen.

Das, was die im Video erzählen, ist nicht unbedingt „falsch“, nur bei genauerer Betrachtung deutlich weniger spektakulär, als es dargestellt wird. Im Grunde läuft es darauf hinaus: Man nehme eine mehr oder weniger willkürliche Abbildung von einer Folge auf eine Zahl, und wenn man damit rumrechnet, kommt was anderes raus als wenn man das gleiche mit einer anderen Abbildung von einer Folge auf eine Zahl tut.