Du musst einfach nur die markierte Zeile einfügen.
Ausserdem solltest du innerhalb der Klasse TForm1 niemals auf
Form1 referenzieren.
Lass das Form1 einfach weg.
Delphi-Quellcode:
procedure TForm1.TransferSockClientRead(Sender: TObject;
Socket: TCustomWinSocket);
var
Buffer: array [0..9999] of Char;
IncommingLen, RecievedLen: integer;
begin
...
ProgressBar.StepBy(RecievedLen);
Application.ProcessMessages; // <== neue Zeile
...
end;
Zusätzlich solltest du verhindern, dass wenn ein Download läuft, der Benutzer einen weiteren Download starten kann.
Dazu einfach das Property Enabled des Button auf False setzen.