Trotzdem wird die Diskussion doch langsam langweilig. Ich fasse zusammen: In R und R# sind eine Operationen nicht definiert. Man kann widerspruchsfrei mit +-INF rechnen.
Ja, es ist langsam langweilig (insb., da wir inzwischen mehr Ausnahmen als Operationen haben), und es tut mir leid, ich machs nicht interessanter. Wenn du von Systemerweiterung sprichst, bedeutet das dass die neuen Regeln mit den bisherigen den Axiomensystemen, die (R, +, *) beschreiben, nicht im Widerspruch stehen dürfen. Nehmen wir bspw. Tarski's zweites Axiomensystem zur Beschreibung von (R, +, *), nachzulesen in "Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences", Seite 217, dort steht bspw. als 8. Axiom:
∀x∀y∃z . x = y + z
Du willst nun ein Axiom hinzufügen, sodass
∀y . !(y = -∞) -> ∞ = y + ∞
Dies liegt eindeutig im Widerspruch zu Tarskis Axiom.
Wir wählen x = 1, y = ∞ [1]
folgich:
∃z . 1 = ∞ + z
Gezwungenermaßen muss ein entsprechendes z existieren. Wir unterscheiden 2 Möglichhkeiten:
z ist eine reelle Zahl. Damit kommen wir aber auf
1 = ∞ + z = ∞
was offensichtlich ein Widerspruch ist, oder aber
z = -∞
was in einer "ungültigen Operation" resultiert, womit es kein z gibt das das 8. Axiom erfüllt.
Aufrund LEM gilt somit: dein Axiomensystem ist bewiesenermaßen inkonsistent.
[1] Es funktioniert für alle x wenn !(x = ∞)
Es ist ja nicht so, daß ich das als einiziger behaupte, vgl ua den genannten Wiki-Arikel. Man wird halt in eine Diskussion reingezogen.
Mag sein, aber wenn man Behauptungen vertritt, muss man sie auch verteidigen können. Zudem würde ich mich nicht so sehr auf die Korrektheit verlassen, insb. bei solchen Artikeln. Fachbücher sind eine deutlich bessere Referenz.
Nein, R wurde oben als Körper der reellen Zahlen benutzt, ich habe R# als R+{∞,-∞} zur Unterscheidung verwendet, Wiki schreibt zB R mit Querstrich.
Mengen erweitern kann man immer, das ist aber auch sehr langweilig. R + { Gugelhupf, Linzertorte } ist absolut gültig, aber nur von geringer Bedeutung.
Wenn man aber anfängt, Operationen darauf zu beschreiben, erweitert man nicht die Mengen, sondern die Tupel aus Mengen und Operatoren. Wenn man dann bspw. der Menge ein Element hinzufügt, muss der Operator entsprechend erweitert werden. Dies darf aber nicht zu einem Widerspruch führen.
Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet. Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle, oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.
greetz
Mike