Dein Beschreibung klingt einfach so das der Router auch gleichzeitig ein DHCP-Server ist (wie fast alle Router die als kleines Gerät daher kommen). Sobald du diesen ins Netz hängst kann es passieren das Rechner die sich per DHCP eine neue
IP holen (weil sie eingeschalten wurden oder die Gültigkeit der alten abläuft) nicht vom ursprünglichen DHCP-Server bedient werden sondern von deinem Router.
Wenn du also keinen weiteren stress willst schalte das DHCP des Routers ab oder sorge zumindest dafür das der Router nicht direkt an das andere Netz angeschlossen ist sondern ein Rechner dazwischen zum Beispiel das Routing übernimmt.
Was aus deiner Beschreibung noch nicht hervor geht ist wie der Router mit dem Internet verbindung aufnehmen kann wenn er doch eigentlich nur an euren Rechnern hängt.
Mit anderen Worten ausgedrückt: Deine Erklärung ist recht dürftig. Was meinst du mit restriktiv (was genau geht nicht was aber mit einem zusätzlichen Router (genügt nicht ein einfacher switch)) funktionieren soll. Und was hat das Internet damit zu tun?