Binärer Aufschrieb: 32 Bits

00000000000000000000000000000000
|\_____/\______________________/
|   |           mantisse
| exponent
|
Vorzeichenbit

Die dezimale Darstellung errechnet sich nach folgender Formel:

x = (-1)^Vorzeichenbit * 2^(exponent - T) * 1.mantisse

wobei T = 127 (bei Single; bei Double ist T = 1023)

angenommen wir wollen die Zahl 0.2 so darstellen, so ergäbe sich:

Vorzeichenbit = 0
exponent = 124  { 2^(124 - 127) = 2^(-3) = 0.125 }
mantisse = 0.6 { und das wird unser Problemkind }

Warum ist die Matisse das Problem? Weil sie [b]binär[/b] dargestellt werden muss! Und das ist:
0.6(d) = 0.1001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011.....(b)
=> Also [b]periodisch[/b]! Aber die Matisse bietet uns keinen Platz für eine Periode, also wird irgendwo abgeschnitten: nämlich nach 24 Bits.
Also gilt binär:
Vorzeichenbit = 0
exponent = 1111100
mantisse = 100110011001100110011001

Gesamte Zahl binär: 01111100100110011001100110011001
(In Hex: 7C999999)

Jetzt wollen wir mal zurück rechnen:
Vorzeichenbit ist = 0, also positives Vorzeichen.
Den Exponenten haben wir oben schon mal, 2^(-3) = 0.125
Jetzt die Mantisse. Nach dem Komma rechnent sich die binäre Zahl folgendermaßen um:
erstes Bit*(2^(-1)) plus
zweites Bit*(2^(-2)) plus
drittes Bit*(2^(-3)) usw.
(von [b]links[/b] angefangen, nicht wie bei ganzen Zahlen von rechts!)
Für unsere Mantisse ergibt sich daher:
[size=9](Jetzt wirds unschön *g*)[/size]
2^(-1)+2^(-4)+2^(-5)+2^(-8)+2^(-9)+2^(-12)+2^(-13)+2^(-16)+2^(-17)+2^(-20)+2^(-21)+2^(-24)

Die Summanden ausgerechnet:
0.5 +
0.0625 +
0.03125 +
0.00390625 +
0.001953125
und ab hier verlässt mich der Taschenrechner mit seiner Anzeige, daher sei nur gesagt, dass noch einige weiter winzige Werte aufaddiert werden, bis zu einem Endergebnis von: ca. 0.5999999[b]64[/b]
Und das fett gedruckte ist nun der Fehler der beim Rechnen mit Floatzahlen nunmal prinzipbedingt auftreten kann. Ob, und wie stark dieser ist hängt davon ab, wie gut sich die nötige Mantisse binär umgerechnet in die dafür vorgesehenen Bits passen.

Um unsere 0.2 zu ende zu rechnen:
Wir haben jetzt alle nötigen Werte, und die Formel lautet: (allerdings nur ungefähr, da mein TR ja nur so wenige Stellen hat ;))
2^(-3) * 1.599999964
= 0.125 * 1.599999964
= 0.19999995 (cirka)
Und schwupps ist unsere 0.2 etwas kleiner geworden, und zwar ohne dass wir etwas dagegen tun könnten!

Dass die 0.2 im obigen Beitrag größer, und nicht wie hier kleiner geworden ist, liegt wahrscheinlich daran, dass nicht Single als Datentyp benutzt wurde. Je nach Typ verändert sich die Darstellbarkeit der Werte drastisch!